Sei K der Körper der reellen Zahlen R oder komplexen Zahlen C und sei Kn ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Weiterhin sei H eine festgewählte reguläre selbstadjungierte Matrix aus Kn×n und seien x, y Spaltenvektoren aus Kn. Dann definiert das bilineare oder sesquilineare Funktional
[x, y] = (Hx, y),
worin (., .) das Standard-Skalarprodukt bezeichnet, ein indefinites Skalarprodukt des Kn. Indefinite Skalarprodukte haben fast alle Eigenschaften gewöhnlicher Skalarprodukte, bis auf die Tatsache, daß der Wert von [x, x] für einen Vektor x ≠ 0 positiv, negativ oder Null sein kann. Ein entsprechender Vektor wird positiv (raumartig), negativ (zeitartig) oder neutral (isotrop, lichtartig) genannt. Die H-Adjungierte A[*] einer beliebigen Matrix A aus Kn×n ist durch die Eigenschaft
[Ax, y] = [x, A[*]y] für alle x, y aus Kn
charakterisiert. Äquivalent dazu ist die Tatsache, daß zwischen der H-Adjungierten A[*] und der gewöhnlichen Adjungierten A* der Zusammenhang A[*] = H-1A*H besteht. Gilt insbesondere A[*] = A oder A*H = HA, so spricht man von einer H-selbstadjungierten Matrix und eine invertierbare Matrix U mit U[*] = U-1 oder U*HU = H wird als H-Isometrie bezeichnet.
Seien nun zwei N-Tupel von Vektoren (x1,…,xN) und (y1,…,yN) gegeben. Dann wird das Problem der Bestimmung einer H-Isometrie U, die das Funktional
f(U) = ∑k=1..N [Uxk - yk, Uxk - yk]
im Sinne einer optimalen Kongruenz der gegebenen Konstellationen optimiert, als H-isometrisches Prokrustesproblem bezeichnet. Die Lösung dieser Aufgabe und die Diskussion von weiteren verwandten Aufgabenstellungen ist der zentrale Gegenstand meiner Dissertation:
Einiges Material aus dieser Arbeit ist auch in folgendem Forschungsartikel enthalten:
Im Kapitel 6 meiner Dissertation beschreibe ich einen Algorithmus zur Berechnung der kanonischen Form einer H-hermiteschen Matrix. Wenn Sie an der zugehörigen Software interessiert sind, schreiben Sie mir bitte eine e-Mail.
| Letzte Änderung: 28. November 2006 | Zurück zur Homepage |